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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 mx-e~sc  
j_8Md!n^  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. Xi_T8|RV  
1Rr ,!$,P  
　　1、三角函数本质： f#U-h}qm  
d^v,TTU8%A  
　　三角函数的本质来源于定义 dB Rs3,ai  
YO2A ib  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 mBT(a1l}O  
6 MN!57$@  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 z/[PZe#  
lE(l ')s I  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： V Lcjf4#5  
57v><K}  
　　推导： NNR XhO  
.vq Nd|  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 NBTPVOk  
o\Bo;T   
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) $S$X 9  
l:FrJ]Oje  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) eZ-Tb.A2  
$:}N{:  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 C'4AyD  
W \z BE`  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） eV>Z8,Pt  
UizO#zLU  
　　[1] Z}L>N+m)A  
f{$;7Y>do  
　　两角和公式 !@|1M zM  
*#9xgzWC,  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB LiZo-Sq  
|I5+O+X  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  _{aZ2ULg  
d.p)2lo&  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB OGy|H}c-  
W@+,1.\6 <  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB YNfaoJ]  
izsu(uX  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) j6T:^Ek[0@  
6`dw#+E  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) x5gxOGp)  
&x"0BZhY  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  7.U#'>L]g  
z8r z]H  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) !j22 v5pq  
=Q5?9{  
倍角公式 iaG@*))B  
 v<[^{t  
　　Sin2A=2SinA•CosA vxv .V&2N  
%8^h DE  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 c:=R <Q`_  
k>u.>?B  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） dRW{+48m  
2b.g9lq*'  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） sF q||ZBv;  
7ys(QYi`&  
三倍角公式 )P0J~b9  
$-v4m>B]8H  
　　 3I~xK1O-  
G[nt,h;B  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) |E`{acc@P  
/pN6$  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) m;5 T369  
\oR~nVl  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) v+`yS({+d  
/o? f?(Y  
三倍角公式推导 %)szA?t  
.Bmit{!,   
　　sin3a 1 l dvOP4  
"CP/L8  
　　=sin(2a+a) {j_'i[  
:?K{- L  
　　=sin2acosa+cos2asina *do\pv1  
< nv;B }r  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina nU;t<"~q-Q  
J]5fg<8:nF  
　　=3sina-4sin³a Q}um8-SUr  
vU{hfN^'^  
　　cos3a Y q4Lv1  
F+Y "zks\  
　　=cos(2a+a) "uWx]L[m  
De!FGFzH"  
　　=cos2acosa-sin2asina r9:@kQ,  
z Pc`Pm29q  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa o~W;!!6{  
IjbL7*` C  
　　=4cos³a-3cosa H[rk)hV  
;\.@gV?f  
　　sin3a=3sina-4sin³a dsC}aZJHD  
~0 <TQP  
　　=4sina(3/4-sin²a) Wlhwf{s  
L)j{7nY{  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] [3&Y{  
Du(R]"U;  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) 8WP^]^n  
wo> PlLE'  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) PZZ#QtU%  
"f^SKW ~%  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] . N0I6O{ g  
-s63[H  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) rk*HGP  
7:F=/~i  
　　cos3a=4cos³a-3cosa 92nc$ xwD-  
zbNbu2>  
　　=4cosa(cos²a-3/4) gs^Cgh+J,  
jbiJ/m  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] P(I<QWs%  
1P`"8v ^Ju  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) Ig9JY'X1  
x#f.=t9J  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) MOZai^w#f  
rQ?) Y  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} m%@%~L`  
#eaG!xx  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) }4 .kn  
LtJ$2)<%=  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] HS{,;b  
x?n[G<PD  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] q;~RF|VHz  
o6bf] [n  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) |0+KK '  
ql< JsJn  
　　上述两式相比可得 : -$P{  
g&YfY  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) EjNUI$G  
Y t<6IrV  
半角公式 6i ;9+?x{  
sDU ?.  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); rgFj9N!  
|W(+fuMf`$  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. bBEg-  
J}I8`<^  
和差化积 [+9=.*g  
x*3)FXvX  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] @^ C"'N%"  
Fj=m3=9wcS  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] ~8$5(H  
(0;<I]  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] 8;wWmf  
)#i^}LV}V%  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] r-Pv]Ib+$  
IeXi{"k  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) <#{,wfm  
f-.u'@1N  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) mW q$PMC  
FH~jMP  
积化和差 -o!j mS  
P"'U{'i{  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] x<WNl?*W  
OL[rL;io>t  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] .DmN6(  
b'(9|J&;  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] nL-l&=  
psK+|@o x  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] (OI!47;  
!Awr/{ ]  
诱导公式 dGA|9E  
"@9dkK6N4a  
　　sin(-α) = -sinα htmTP[y  
]m;XR6&  
　　cos(-α) = cosα ]~Ka%-4I  
+KFEuD *F  
　　sin(π/2-α) = cosα JZ{qQ-S.  
,MtPq\G'\  
　　cos(π/2-α) = sinα Qu>`wpZ  
G9C=)fIxV  
　　sin(π/2+α) = cosα B1  Qf/k  
ZLBc\N'em  
　　cos(π/2+α) = -sinα 4.ouuJL;`I  
Q`Vs`35  
　　sin(π-α) = sinα 8^RM]P  
4`j :7,+  
　　cos(π-α) = -cosα {lKd42'8  
E Yam'"q  
　　sin(π+α) = -sinα WXuYaW>L  
Q(E7(Bh  
　　cos(π+α) = -cosα rT=MK`p(  
f01 fpcW.  
　　tanA= sinA/cosA a5~9?P`2  
>w  .vHM  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα 0LK&YA--  
5TuoZ V`  
　　tan（π/2－α）＝cotα \[b|% iU  
<](. U  
　　tan（π－α）＝－tanα Gc|"B"ad3  
&N_q7o*B  
　　tan（π＋α）＝tanα 8]z\?sx@  
B?x8i#2  
万能公式 {rMvj /q  
1*r|v$gG89  
　　 wU R[[K  
_,FJ\e-  
其它公式 MHZO4^1ZGm  
6rTEO5/s  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 }-HZ8g~  
o{DR} W  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 0[*aqlkwt  
ooY-YFQ~MG  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 [xZZ5Uah  
1PMCJbH)z  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 qT! N E8aI  
PebjYn%e  
　　对于任意非直角三角形,总有 i }x"M/^  
c-_Ju9/S![  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC [suF[@9!P  
lAJ M5[e1  
　　证: h<e ]x:W  
u=(itZXyO8  
　　A+B=π-C 1@oyrE  
P DE3hL  
　　tan(A+B)=tan(π-C) J &Hcf!Y5  
[PydW!  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) BY L qUG  
DoZ6I>-  
　　整理可得 iB|UOYI  
e@Tdtr<!'~  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC Y 7I/ y"  
$xmNs`uJ  
　　得证 oqr.bz^@  
E\B#NFxoI  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 j2 @ >LD  
7fJ?6Fx  
其他非重点三角函数 i=: f%#  
Ma11[{  
　　csc(a) = 1/sin(a) !UkMq gK$P  
C  f$UG  
　　sec(a) = 1/cos(a) xlA-)S/L  
T1x$gQWY  
　　 O~x%>E4  
- m7-^:}1  
双曲函数 g\/b-3c  
wVwEF<=t  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 {i*hU.iM  
~/cOoWB;:W  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 tPzvJ~W#  
w9}?K&W{r  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) Z)snYT@h  
{:?,gg9%5  
　　公式一： nNo:@m{"  
C#;(|3]<NW  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： ;Z)Zuf%X!  
nRr<dc 6  
　　sin（2kπ＋α）= sinα AP AsD 8f  
UMDd  
　　cos（2kπ＋α）= cosα c~'VEVb-  
f@yjIgXe!  
　　tan（kπ＋α）= tanα J H{bztox  
z\tu>!kq  
　　cot（kπ＋α）= cotα 1K5Z0IWW  
SyHMb0f  
　　公式二： _$ A a  
Yb5I8{I  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： 7]!vwn"x[  
W F5@bSQYp  
　　sin（π＋α）= -sinα NJ '7I$DZ0  
0U8m Pla  
　　cos（π＋α）= -cosα i\AdsRGa  
+tZf["a5$  
　　tan（π＋α）= tanα k\X49W  
naM~Xc[{  
　　cot（π＋α）= cotα O~|I$t  
P= [^|OH  
　　公式三： p:fcSW$  
A=hX"S@o  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： 7%2SxckS$  
8(KG|q_&t+  
　　sin（-α）= -sinα 2wIU 0aL  
i]ogU{H  
　　cos（-α）= cosα :+N}gaLK  
k2xhw7  
　　tan（-α）= -tanα ]NvmpQMn  
y d^+v'  
　　cot（-α）= -cotα 'kYo[Ys  
#4QQW4  
　　公式四： _,Z2EjE  
[`t4FU{(]  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： &JN)tkfc  
-/LPOC=k  
　　sin（π-α）= sinα 2OOK5|vg  
2Px O!%q  
　　cos（π-α）= -cosα $Q<F B=  
."iz'KY]|  
　　tan（π-α）= -tanα `QW O5t  
PLh^1C{l2  
　　cot（π-α）= -cotα |Km O,a   
>jttngj  
　　公式五： )|An wk  
P)H56  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： A?~B_xS  
}.I<66<7  
　　sin（2π-α）= -sinα :!ep_  
>'nLX7~p}  
　　cos（2π-α）= cosα cKq _Mi\  
Z=1(<;bjv  
　　tan（2π-α）= -tanα 5cZ[j%A  
?rKcbg0k  
　　cot（2π-α）= -cotα H$G:F_/y  
+<3?x;",  
　　公式六： ,_I&/_6Kn  
(?xLUXjV*b  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： +ICw|_ Uf  
g]W^VhA(XN  
　　sin（π/2+α）= cosα !niT<7[9\4  
0Hxl ]&*  
　　cos（π/2+α）= -sinα @:E P<>$O  
P1N T"f~  
　　tan（π/2+α）= -cotα \o jR((`  
F2]F7&Ir  
　　cot（π/2+α）= -tanα _"W7  
xAhWmGMyQ  
　　sin（π/2-α）= cosα . /\ H\Z  
f \F*65(  
　　cos（π/2-α）= sinα +nW;N[-  
> E I,  
　　tan（π/2-α）= cotα QM!zsBTw3  
h#/;}.AV  
　　cot（π/2-α）= tanα yzfz&74h  
{;RZ86O$  
　　sin（3π/2+α）= -cosα %+8YJ9 [0n  
fyl` Xa  
　　cos（3π/2+α）= sinα >B8n'RM  
&oExzf]  
　　tan（3π/2+α）= -cotα (Es<"E"#  
o D_ Jy  
　　cot（3π/2+α）= -tanα c4@1A9+dl$  
q|I%>CEEU  
　　sin（3π/2-α）= -cosα gY =ZN"a4}  
~Tr2q$G  
　　cos（3π/2-α）= -sinα sbpC&?ow  
$lP95!WpYk  
　　tan（3π/2-α）= cotα @rXj4*  j  
{=7c  
　　cot（3π/2-α）= tanα ?CYU]2#6  
p067u) |V  
　　(以上k∈Z) O9a';O  
iQ]5RZ Ln  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 }DV,=}s'  
.xQ7v><U  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = L< t,(oD  
RRik0/[oG  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } NY#5|<t7|  
w#|$:f"X  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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